Motion of a single bead on a bead row : theoretical investigations

The motion of a single bead on an inclined "line" made up of juxtaposed identical beads is analytically investigated. Initially, an entirely analytical method is presented in some detail: the problem is tractable with the usual analytical tools as long as any slip motion is ignored. Under these conditions, we show (i) the existence of a steady regime within a certain range of line slopes and (ii) that the mean velocity of the mobile bead may be calculated by induction. When compared to all the series of experiments (after the adjustment of the collisional parameter), this approach reflects well all the features displayed by experiments. The influence of slip is then numerically investigated, but, unfortunately, the unicity of solution to motion equations cannot be proved. Despite this uncertainty, energy considerations show that the main dissipation process is due to collisions. The analytical model is then compared to three alternative types of approach namely a phenomenological approach, an heuristical model, and one based on molecular-dynamics model. The comparison throws light on the role of (solid) friction and collisions in granular materials: here, it is found that the macroscopic coefficient of friction (bulk resistance) is mainly due to geometrical characteristics and collisional effects. / Des approches microstructurelles ont largement été développées ces dernières années pour modéliser des écoulements granulaires ; ces méthodes consistent à déduire le comportement macroscopique à partir du comportement local de l'écoulement. Cependant, le caractère fortement non-linéaire et le grand nombre des phénomènes impliqués rendent difficile l'analyse des éventuelles divergences constatées entre les prédictions théoriques et les résultats expérimentaux. Il est donc intéressant d'étudier un système physique le plus simple possible pour pouvoir comparer les différentes approches. A cet effet, on étudie le mouvement d'une seule bille sur une rangée droite de billes accolées et identiques (entre elles). Dans un premier temps, on présente en détail une méthode qui donne une solution entièrement analytique à condition que l'on puisse négliger le glissement entre billes. Dans ce cas on montre d'une part (i) que la bille en mouvement peut atteindre un régime stationnaire, tant que l'inclinaison de la rangée est comprise dans un certain intervalle, dont les frontières ne dépendent que de la taille des grains et de la loi collisionnelle et d'autre part (ii) que la vitesse en régime permanent peut être calculée par récurrence. Ces deux point sont en accord avec les résultats expérimentaux à condition de caler le paramètre de la loi collisionnelle. Dans un second temps, on cherche à tenir compte du glissement, mais malheureusement le cadre de la mécanique des corps rigides ne permet pas d'assurer l'unicité de la solution ; pour cela, il faudrait analyser en détail les déformations et contraintes durant le contact de trois billes. Enfin, on compare les résultats de notre étude théorique avec trois autres types de modèle : un modèle phénoménologique, un modèle heuristique et un dernier modèle basé sur la dynamique moléculaire.